Darstellung von Rotationen und Translationen

Eine Rotation im Raum ist eine Abbildung, die Punkten $\mathbf{p}\in \mathbbm{R}^3$ neue Koordinaten $\mathbf{p}' \in \mathbbm{R}^3$ zuweist. Dabei werden alle Punkte um ein festes Drehzentrum und um einen konstanten Winkel gedreht. Es bleiben Längen erhalten: Zwei Punkte haben vor und nach der Rotation den gleichen Abstand. Auch die Winkel zwischen jeweils drei Punkten verändern sich nicht. Des Weiteren handelt es sich bei der Rotation um eine lineare Abbildung ( $\mathbbm{R}^3 \rightarrow \mathbbm{R}^3$). Sie kann durch Euler-Winkel, Gibb-Vektoren, Caley-Klein-Parameter, Pauli-Spin Matrizen, Achsen und Winkel, Hamiltons Quaternionen und orthonormale Matrizen dargestellt werden. In der Robotik werden hauptsächlich Euler Winkel, Quaternionen und Rotationsmatrizen eingesetzt [40]. Jede Rotationsmatrix ist eine $3 \times 3$ Orthonormalmatrix und es gilt: $\MR\MR^T = \mathbbm{1}$ und $\det(\MR) = 1$. Diese Matrix multipliziert mit den Punktvektoren ergibt die gedrehten Punkte ( $\mathbf{p}' = \MR\mathbf{p}$).

Die Translation im Raum weist ebenfalls Punkten $\mathbf{p}\in \mathbbm{R}^3$ neue Koordinaten $\mathbf{p}' \in \mathbbm{R}^3$ zu. Es werden alle Punkte in eine vorgegebene Richtung um einen konstanten Betrag verschoben, Längen und Winkel bleiben dabei erhalten. Die Translation ist durch einen Vektor $\mathbf{t} \in \mathbbm{R}^3$ darstellbar, der zu den Punktvektoren addiert wird ( $\mathbf{p}' = \mathbf{p}+ \mathbf{t}$).