Das Einheitsquaternion

Neben der Repräsentation einer Rotation mit Hilfe der Euler Winkel wird das so genannte Einheitsquaternion (engl.: unit quaternion) eingesetzt [20]. Das Quaternion beschreibt eine Rotation um einen Vektor, der durch den Ursprung des Koordinatensystems geht. In Abbildung 3.1 sind ein Einheitsvektor $\mathbf{n}$ und ein Winkel $\theta$ dargestellt, die die Rotation der beiden Koordinatensysteme beschreiben. Das blaue Koordinatensystem ist das Ergebnis der Drehung des schwarzen Systems um einen Winkel $\theta$.

Abbildung 3.1: Quaternion zur Beschreibung einer Rotation

Das Quaternion geht auf Hamilton zurück und kann mathematisch als eine komplexe Zahl mit drei verschiedenen imaginären Anteilen behandelt werden (siehe Anhang A.1) [1,34]:

$$\dot q = q_0 + \mathfrak{i}q_x + \mathfrak{j}q_y + \mathfrak{k}q_z \ q_0, q_x, q_y, q_z \in \mathbbm{R}.$$

Bei gegebenem Einheitsvektor $\mathbf{n}= (n_x, n_y, n_z)^T$ und Rotationswinkel $\theta_n$ lässt sich das Einheitsquaternion berechnen durch [10,20]:

$$q_0 = \cos \frac{\theta_n}{2}$$ (3.2)

$$q_x = n_x \, \sin \frac{\theta_n}{2}$$ (3.3)

$$q_y = n_y \, \sin \frac{\theta_n}{2}$$ (3.4)

$$q_z = n_z \, \sin \frac{\theta_n}{2}.$$ (3.5)

Die Rotationsmatrix berechnet sich aus einem Einheitsquaternion $\dot q$ wie folgt:

$$\MR= \left( \begin{array}{ccc} (q_0^2 + q_x^2 - q_y^2 - q_z^2... ...+ q_xq_0) & (q_0^2 - q_x^2 - q_y^2 + q_z^2) \end{array}\right).$$ (3.6)

Dass eine Rotation in dieser Form dargestellt werden kann, geht aus den Beweisen in Anhang A.1.1 und A.1.2 hervor. Die Verwendung des Einheitsquaternions zur Darstellung von Rotationen garantiert, dass die entsprechende Rotationsmatrix orthonormal ist.