Die zu minimierende Fehlerfunktion

Nach dem Einsetzen der Gleichungen (3.11), (3.12), (3.13) und (3.14) in die Fehlerfunktion

$$E(\MR, \mathbf{t}) = \sum_{i=1}^{N_m}\sum_{j=1}^{N_d}w_{i,j}\left... ...\lvert \mathbf{m}_{i}-(\MR \mathbf{d}_j+\mathbf{t}) \right\rvert\right\rvert ^2$$

ergibt sich

$$E(\MR, \mathbf{t}) = \sum_{i=1}^{N_m}\sum_{j=1}^{N_d}w_{i,j} \lvert\lvert{\mathbf{m}'_... ...(\mathbf{t}-\mathbf{c}_m+\MR\mathbf{c}_d)}_{= \tilde \mathbf{t}}\lvert\lvert}^2$$

$$= \sum_{i=1}^{N_m}\sum_{j=1}^{N_d}w_{i,j}\left\lvert\left\lvert \mathbf{m}'_{i}-\MR\mathbf{d}'_j \right\rvert\right\rvert ^2$$ (7.15)

$$- 2 \tilde \mathbf{t}\cdot \sum_{i=1}^{N_m}\sum_{j=1}^{N_d}w_{i,j} \left( \mathbf{m}'_{i}-\MR\mathbf{d}'_j \right)$$ (7.16)

$$+\sum_{i=1}^{N_m}\sum_{j=1}^{N_d}w_{i,j}\left\lvert\left\lvert \tilde \mathbf{t} \right\rvert\right\rvert ^2.$$ (7.17)

Um die obige Summe zu minimieren, müssen alle Terme minimiert werden. Der zweite Term (A.16) ist Null, da sich die Werte auf den Schwerpunkt beziehen. Der dritte Teil (A.17) hat für $\tilde \mathbf{t}= \mathbf{0}$ bzw. $\mathbf{t}= \mathbf{c}_m - \MR\mathbf{c}_d$ ein Minimum. Folglich bleibt der erste Teil (A.15) übrig und die neue Fehlerfunktion lautet:

$$E(\MR, \mathbf{t}) = \sum_{i=1}^{N_m}\sum_{j=1}^{N_d}w_{i,j}\left\lvert\left\lvert \mathbf{m}'_{i}-\MR\mathbf{d}'_j \right\rvert\right\rvert ^2.$$ (7.18)