Rotationsbestimmung

Die neue Fehlerfunktion (A.18) muss nun minimiert werden. Da eine Rotation längenerhaltend ist, gilt immer $\lvert\lvert\MR\mathbf{d}'_j\lvert\lvert^2 = \lvert\lvert \mathbf{d}'_j\lvert \lvert^2$. Mit Hilfe dieser Eigenschaft wird die Fehlerfunktion erweitert zu

$$E(\MR, \mathbf{t}) = \sum_{i=1}^{N_m}\sum_{j=1}^{N_d}w_{i,j}\left... ...}^{N_d}w_{i,j}\left\lvert\left\lvert \mathbf{d}'_j \right\rvert\right\rvert ^2.$$

Wie man leicht sieht, geht die Rotation nur in den mittleren Term ein. Um die obige Gleichung zu minimieren, genügt es also, den Ausdruck

$$\sum_{i=1}^{N_m}\sum_{j=1}^{N_d}w_{i,j}\mathbf{m}'_{i} \cdot \MR\mathbf{d}'_j$$ (7.19)

zu maximieren. An dieser Stelle der Herleitung kommen die Quaternionen zum Einsatz. Die Bestimmung der Rotationsmatrix $\MR$, die (A.19) maximiert, kann aufgefasst werden als das Finden des Einheitsquaternions $\dot q$, das den Ausdruck

$$\sum_{i=1}^{N_m}\sum_{j=1}^{N_d}w_{i,j} \dot m'_i \cdot (\dot q \... ..._{i=1}^{N_m}\sum_{j=1}^{N_d}w_{i,j} (\dot q \dot m'_i) \cdot (\dot d'_j \dot q)$$

maximiert. Dabei wurde die Rechenregel (A.6) angewendet. Seien nun $\mathbf{M}_i$ und $\bar \mathbf{D}_j$ die Matrizen zu den Quaternionen $\dot m'_i$ und $\dot d_j$ analog zu (A.7) und (A.8). Nach (A.9), (A.10) und (A.11) wird die zu maximierende Summe

$$\sum_{i=1}^{N_m}\sum_{j=1}^{N_d}w_{i,j} (\bar \mathbf{M}_i \dot q) \cdot (\mathbf{D}_j \dot q)$$

bzw.

$$\sum_{i=1}^{N_m}\sum_{j=1}^{N_d}w_{i,j} \dot q ^T \bar \mathbf{M}... ...}^{N_m}\sum_{j=1}^{N_d}w_{i,j} \bar \mathbf{M}_i \mathbf{D}_j^T \right) \dot q.$$

Schreibt man nun die Matrizen für $\mathbf{M}_i$ und $\mathbf{D}_j$, ergibt eine Rechnung:

$$\dot q ^T \left( \sum_{i=1}^{N_m}\sum_{j=1}^{N_d}w_{i,j} \bar \mathbf{M}_i \mathbf{D}_j^T \right) \dot q$$

$$= \dot q ^T \left( \sum_{i=1}^{N_m}\sum_{j=1}^{N_d}w_{i,j} \lef... ...{jz} & -d_{jy} & d_{jx} & 0 \end{array}\right)^T \right) \dot q$$

$$= \dot q ^T \mathbf{N}\dot q.$$ (7.20)

Die in Kapitel 3.3.3 (vgl. (3.16)) definierte Matrix $\mathbf{N}$ entsteht bei der Multiplikation. Folgender Satz zeigt, wie das Einheitsquaternion, das (A.7) maximiert, bestimmt wird:

Satz 7   Das Einheitsquaternion $\dot q$ (es gilt $\dot q \cdot \dot q = 1$), das den Term $\dot q ^T \mathbf{N}\dot q$ (A.20) maximiert, ist der Eigenvektor zu dem größten positiven Eigenwert der Matrix $\mathbf{N}$ [40].

Beweis:Die symmetrische Matrix $\mathbf{N}$ ist eine $4 \times 4$ Matrix. Das bedeutet, dass $\mathbf{N}$ vier Eigenwerte besitzt ( $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3, \lambda_4$). Zu diesen Eigenwerten können vier Eigenvektoren ( $\dot e_1, \dot e_2, \dot e_3, \dot e_4$) konstruiert werden, so dass gilt

$$\mathbf{N}\dot e_i = \lambda_i \dot e_i \quad i = 1,2,3,4.$$

Die Eigenvektoren spannen einen vier-dimensionalen Vektorraum auf (sie sind linear unabhängig); also kann ein beliebiges Quaternion $\dot q$ als Linearkombination

$$\dot q = \alpha_1 \dot e_1 + \alpha_2 \dot e_2 + \alpha_3 \dot e_3 + \alpha_3 \dot e_3$$

dargestellt werden. Da Eigenvektoren orthogonal sind, gilt:

$$\dot q \cdot \dot q = \alpha_1^2 + \alpha_2^2 + \alpha_3^2 + \alpha_3^2.$$

Dies muss gleich 1 sein, da nach einem Einheitsquaternion $\dot q$ gesucht wird. Weiterhin gilt

$$\mathbf{N}\dot q = \alpha_1 \lambda_1 \dot e_1 + \alpha_2 \lambda_2 \dot e_2 + \alpha_3 \lambda_3 \dot e_3 + \alpha_4 \lambda_4 \dot e_4,$$

da $\dot e_1, \dot e_2, \dot e_3, \dot e_4$ Eigenvektoren von $\mathbf{N}$ sind. Daraus lässt sich schließen, dass

$$\dot q ^T \mathbf{N}\dot q = \dot q \cdot \left( \mathbf{N}\dot q... ... \lambda_1 + \alpha_2^2 \lambda_2 + \alpha_3^2 \lambda_3 + \alpha_4^2 \lambda_4$$

gilt. Angenommen die Eigenwerte seien der Größe nach sortiert, d.h. $\lambda_1 \geq \lambda_2 \geq \lambda_3 \geq \lambda_4$. Dann folgt daraus die Ungleichung

$$\dot q ^T \mathbf{N}\dot q \leq \alpha_1^2 \lambda_1 + \alpha_2^2 \lambda_1 + \alpha_3^2 \lambda_1 + \alpha_4^2 \lambda_1 = \lambda_1$$

und es ist gezeigt, dass die quadratische Form niemals größer als der größte Eigenwert sein kann. Bei der Wahl von $\alpha_1 = 1$ und $\alpha_2 = \alpha_3 = \alpha_4 = 0$ wird das Maximum erreicht und das gesuchte Einheitsquaternion ist $\dot q = \dot e_1$ [40].$\Box$